Matematika Ria
Tambahkan ke favorit Tambahkan ke favorit
link Tautkan di sini
Beranda Matematika RiaBeranda








Hak cipta © 2009
MatematikaRia.com

Digit biner

Bilangan biner

A Bilangan biner terdiri dari 0 dan 1.

Masing-masing memiliki hanya dua kemungkinan: 0 atau 1

Bit

Dalam istilah komputer "binary digit" disingkat menjadi "bit"

Lebih dari satu digit

Jadi, jika satu digit hanya punya dua kemungkinan "keadaan" (seperti "0" dan "1", atau "On" dan "Off"), berapa banyak keadaan yang ada dengan 2 atau lebih digit biner?

Contoh, berapa banyak macam cara yang dapat dibuat untuk 4 digit (seperti dalam contoh 4 macam drum)?

Coba kita catat, mulai dari 1 digit (kamu dapat mengujinya sendiri menggunakan saklar):

Satu digit akan memiliki 2 keadaan...
0
1
...dua digit memiliki 4 keadaan...
0 0 00
1 01
1 0 10
1 11
...tiga digit memiliki 8 keadaan...
0 0 0 000
1 001
1 0 010
1 011
1 0 0 100
1 101
1 0 110
1 111
... dan empat digit memiliki 16 keadaan.
0 0 0 0 0000
1 0001
1 0 0010
1 0011
1 0 0 0100
1 0101
1 0 0110
1 0111
1 0 0 0 1000
1 1001
1 0 1010
1 1011
1 0 0 1100
1 1101
1 0 1110
1 1111

Dan, sebenarnya, kita sudah membuat 16 bilangan biner pertama:

Desimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Biner: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Ini cukup berguna untuk diingat. Jika kamu lupa seperti apa urutan bilangan biner, ingat saja: "0" dan "1", kemudian "0" dan "1" lagi tapi dengan "1" di depan masing-masing ("10" dan "11") kemudian ambil keempatnya dan letakkan "1" di depan ("100","101","110","111") dan seterusnya!

Pangkat dua digit biner

Perhatikan juga bahwa setiap kita menambahkan digit biner maka artinya melipatgandakan kemungkinan. Mengapa melipatgandakan? Karena kita harus mengambil semua keadaan yang mungkin sebelumnya dan mencocokkannya dengan "0" dan "1" seperti di atas.

Jadi, jika kita punya 5 benda, maka totalnya menjadi 32, 6 benda akan menjadi 64, dll.

Dengan menggunakan eksponen, dapat ditunjukkan seperti berikut:

Jumlah digit Rumus Nilai
1 21 2
2 22 4
3 23 8
4 24 16
5 25 32
6 26 64
dll... dll... dll...

Contoh: Jika kamu punya 50 digit biner (atau misalnya 50 benda yang masing-masing memiliki hanya dua keadaan), berapa macam cara yang bisa dibuat?

Jawab 250 = 2 × 2 × 2 × 2 ... (kelimapuluhnya adalah) = 1.125.899.906.842.624

Jadi, sebuah bilangan biner dengan 50 digit dapat memiliki 1.125.899.906.842.624 nilai berbeda.

Atau dengan cara lain, bilangan dapat ditunjukkan hingga 1.125.899.906.842.623 (catatan bahwa ini kurang dari jumlah total nilai, karena salah satu nilai adalah 0).

Papan catur

Ada sebuah legenda tua bangsa India tentang seorang Raja yang ditantang beradu catur oleh seorang Mahaguru. Raja bertanya "apa hadiah yang Engkau minta jika menang?".

Mahaguru itu menjawab ia hanya minta beberapa butir beras: satu di kotak pertama, 2 di kotak kedua, 4 di kotak ketiga dan seterusnya, berlipat ganda di tiap kotak. Raja sangat heran dengan permintaan yang sederhana ini.

Akhirnya, Mahaguru menang, maka berapa butir beras yang akan diterimanya?

Di kotak pertama: 1 butir, di kotak ke dua: 2 butir (untuk total dari 3) dan seterusnya seperti berikut:

Kotak Butir Total
1 1 1
2 2 3
3 4 7
4 8 15
10 512 1.027
20 524.288
1.048.575
30 53.6870.912
1.073.741.823
64 ???
???

Di kotak ke 30 kita bisa lihat sudah banyak beras yang terkumpul! Satu milyar beras beratnya 25 ton (1000 butir beratnya sekitar 25g - berat sudah dihitung).

Perhatikan bahwa Total setiap kotak adalah kurang 1 dari Butir di kotak berikutnya (Contoh: kotak 3 total adalah 7, dan kotak 4 memiliki 8 butir). Jadi total semua kotak dicari dengan rumus: 2n-1, dimana n adalah jumlah kotak. Contoh, untuk kotak 3, total adalah 23-1 = 8-1 = 7

Maka, untuk memenuhi semua 64 kotak papan catur akan diperlukan 264-1 = 18.446.744.073.709.551.615 butir (460 milyar ton beras), beberapa kali lipat dari beras yang ada di kerajaan itu.

Jadi, pemangkatan dua bilangan biner tidak bisa dianggap remeh (460 milyar ton tidaklah ringan!)

(Kembali ke legenda tadi, Sage menyatakan dirinya sebagai Raja Krishna dan mengatakan pada sang Raja bahwa ia tidak perlu membayar utangnya saat itu juga, tapi setiap hari harus menyisihkannya untuk peziarah sampai terlunasi utangnya.)

Heksadesimal

Terakhir, kita akan membahas hubungan khusus antara biner dan heksadesimal.

Ada 16 digit heksadesimal, dan kita sudah tahu bahwa 4 digit biner memiliki 16 nilai mungkin. Baiklah, berikut ini hubungan antara masing-masing:

Biner: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Heksadesimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Jadi, ketika orang menggunakan komputer (lebih banyak menggunakan bilangan biner), akan lebih mudah jika menggunakan satu digit heksadesimal daripada 4 digit biner.

Contoh, bilangan biner "100110110100" adalah "9B4" dalam heksadesimal. Kita tahu mana yang lebih mudah ditulis!